Algèbre Exemples

$\sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.3

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 4$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Notation d’intervalle :

$[- 4, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

Étape 2.2.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

Étape 2.2.5

Multipliez $0$ par $8$ .

$f (- 4) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 4) = 0$

Étape 2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Étape 2.4.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

Étape 2.4.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

Étape 2.4.5

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (4) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4) = 0$

Étape 2.4.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 3$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 3, \sqrt{7})$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4 - (- 3)$ par $1$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{7}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 2$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 2, 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (- 2) = \sqrt{12}$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

Étape 4.2.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 4.2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

Étape 4.2.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, \sqrt{15})$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

Étape 4.3.2.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{15}$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 4)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

Étape 4.4.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Étape 4.4.2.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Étape 4.4.2.6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 4$

Étape 4.4.2.8

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 4.5

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(1, \sqrt{15})$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Étape 4.5.2.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Étape 4.5.2.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Étape 4.5.2.6

La réponse finale est $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Étape 4.6

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Étape 4.6.2.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

Étape 4.6.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

Étape 4.6.2.4

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

Étape 4.6.2.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (2) = \sqrt{12}$

Étape 4.6.2.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.6.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

Étape 4.6.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 4.6.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

Étape 4.6.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Étape 4.7

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(3, \sqrt{7})$ .

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Étape 4.7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Étape 4.7.2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

Étape 4.7.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

Étape 4.7.2.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

Étape 4.7.2.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (3) = \sqrt{7}$

Étape 4.7.2.6

La réponse finale est $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Étape 4.8

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

Étape 5