Algèbre Exemples

$x + \sqrt{x} = 20$

Étape 1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x + \sqrt{x} - 20 = 0$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Étape 3

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Étape 4

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 20 = 0$

Étape 5

Factorisez $u^{2} + u - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Étape 8

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 4$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Étape 8.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 4^{2}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 4^{2}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = 16$

Étape 9

Définissez $x^{\frac{1}{2}} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} + 5$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = - 5$

Étape 9.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 5)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 5)}^{2}$

Étape 9.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = 25$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ vraie.

$x = 16, 25$

Étape 11

Excluez les solutions qui ne rendent pas $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ vrai.

$x = 16$