Algèbre Exemples

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 6 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 5 u + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $e^{x} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $e^{x} - 3$ égal à $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $e^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 3$

Étape 3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 3.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 3.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 4

Définissez $e^{x} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{x} - 2$ égal à $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{x} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 2$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 4.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 4.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0$ vraie.

$x = \ln (3), \ln (2)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (3), \ln (2)$

Forme décimale :

$x = 1.09861228 \dots, 0.69314718 \dots$