Algèbre Exemples

$\frac{2 + i}{2 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + i}{2 - i}$ par le conjugué de $2 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i}$

Étape 2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez.

$\frac{(2 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Développez $(2 + i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 + i) + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{4 + 2 i + 2 \cdot i + i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{2}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 + 2 i + 2 i - 1}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3 + 2 i + 2 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $2 i$ et $2 i$ .

$\frac{3 + 4 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $(2 - i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + 4 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + 4 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + 4 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - 2 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 + 4 i}{4 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{3 + 4 i}{5}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{3 + 4 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}$