Algèbre Exemples

$\frac{7 + i}{7 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{7 + i}{7 - i}$ par le conjugué de $7 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{7 + i}{7 - i} \cdot \frac{7 + i}{7 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(7 + i) (7 + i)}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(7 + i) (7 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (7 + i) + i (7 + i)}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 7 + 7 i + i (7 + i)}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 7 + 7 i + i \cdot 7 + i i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{49 + 7 i + i \cdot 7 + i i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$\frac{49 + 7 i + 7 \cdot i + i i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{49 + 7 i + 7 i + i^{1} i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{49 + 7 i + 7 i + i^{1} i^{1}}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{49 + 7 i + 7 i + i^{1 + 1}}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{49 + 7 i + 7 i + i^{2}}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{49 + 7 i + 7 i - 1}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $49$ .

$\frac{48 + 7 i + 7 i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $7 i$ et $7 i$ .

$\frac{48 + 14 i}{(7 - i) (7 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(7 - i) (7 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 14 i}{7 (7 + i) - i (7 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 14 i}{7 \cdot 7 + 7 i - i (7 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 14 i}{7 \cdot 7 + 7 i - i \cdot 7 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - i \cdot 7 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - 7 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - 7 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - 7 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - 7 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 7 i - 7 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $7 i$ de $7 i$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $49$ et $0$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{48 + 14 i}{49 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $49$ et $1$ .

$\frac{48 + 14 i}{50}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $48 + 14 i$ et $50$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$\frac{2 (24) + 14 i}{50}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $14 i$ .

$\frac{2 (24) + 2 (7 i)}{50}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (24) + 2 (7 i)$ .

$\frac{2 (24 + 7 i)}{50}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{2 (24 + 7 i)}{2 \cdot 25}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (24 + 7 i)}{2 \cdot 25}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{24 + 7 i}{25}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{24 + 7 i}{25}$ en deux fractions.

$\frac{24}{25} + \frac{7 i}{25}$