Algèbre Exemples

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ .

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

Étape 2.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 125$

Étape 2.3.3

Multipliez $125$ par $1$ .

$x^{3} = 125$

Étape 2.3.4

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 125 = 0$

Étape 2.3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Étape 2.3.5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez

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Étape 2.3.5.3.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Étape 2.3.5.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Étape 2.3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Étape 2.3.7

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.7.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.3.8

Définissez $x^{2} + 5 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.8.1

Définissez $x^{2} + 5 x + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Étape 2.3.8.2

Résolvez $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.8.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 2.3.8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.8.2.3.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.8.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ vraie.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$