Algèbre Exemples

$x^{2} + y^{2} = 4$ , $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 4$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4 - y^{2}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4 - y^{2}}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4 - y^{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} - y^{2}}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \pm \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x = - \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x = - \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x = - \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Étape 2

Résolvez le système $x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}, x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ par $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

${(\sqrt{(2 + y) (2 - y)})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{(2 + y) (2 - y)})}^{2} + {(y - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ comme $(2 + y) (2 - y)$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ comme ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$((2 + y) (2 - y)) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$((2 + y) (2 - y)) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.1.5

Simplifiez

$(2 + y) (2 - y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$(2 + y) (2 - y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Développez $(2 + y) (2 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 - y) + y (2 - y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 - 2 y + 2 y - y \cdot y + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y) + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 - 2 y + 2 y - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - 2 y + 2 y - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - 2 y + 2 y - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.2

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$4 + 0 - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.3.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - y^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.4

Réécrivez ${(y - 1)}^{2}$ comme $(y - 1) (y - 1)$ .

$4 - y^{2} + (y - 1) (y - 1) = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5

Développez $(y - 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y^{2} + y (y - 1) - 1 (y - 1) = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1) = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 - y^{2} + y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$4 - y^{2} + y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$4 - y^{2} + y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$4 - y^{2} + y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 - y^{2} + y^{2} - y - y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - y^{2} + y^{2} - y - y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.1.6.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$4 - y^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - y^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - y^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $4 - y^{2} + y^{2} - 2 y + 1$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$4 + 0 - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$4 - 2 y + 1 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$- 2 y + 5 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$- 2 y + 5 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$- 2 y + 5 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$- 2 y + 5 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$- 2 y + 5 = 1$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ dans $- 2 y + 5 = 1$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = 1 - 5$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 2 y = - 4$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$- 2 y = - 4$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 4$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = - 4$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 2}$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$y = \frac{- 4}{- 2}$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$y = \frac{- 4}{- 2}$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 2$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$y = 2$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$y = 2$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

$y = 2$

$x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ par $2$ .

$x = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

$y = 2$

Étape 2.3.2

Simplifiez $x = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$ .

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

$y = 2$

$x = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \sqrt{4 (2 - (2))}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \sqrt{4 (2 - 2)}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$x = \sqrt{4 \cdot 0}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$x = \sqrt{0}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = 2$

Étape 2.3.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Étape 3

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 2)$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(0, 2)$

Forme de l’équation :

$x = 0, y = 2$

Étape 5