Algèbre Exemples

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{x^{2} - 6 x + 8}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{1}{x - 4} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 2}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 2}{(x - 2) (x - 4)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 4) + x - 2}{(x - 2) (x - 4)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 2)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 4) + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 - 2}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x - 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$