Algèbre Exemples

$\frac{2 i}{1 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 i}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{2 i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i \cdot 1 + 2 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 i + 2 i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2 i (- i)$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 i - 2 i i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i - 2 (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i - 2 i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i - 2 i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i - 2 \cdot - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 i + 2}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $2 i$ et $2$ .

$\frac{2 + 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 + 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 + 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 + 2 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 i}{2}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $2 + 2 i$ et $2$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 i}{2}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (i)}{2}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (i)$ .

$\frac{2 (1 + i)}{2}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1 + i)}{2 (1)}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + i)}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i}{1}$

Étape 3.4.4

Divisez $1 + i$ par $1$ .

$1 + i$