Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{{\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{18} + \sqrt{18} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3} - \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1}}{- 3}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{2}}{- 3}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{3} - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ .

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{3} - \sqrt{6}) (\sqrt{3} - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{18} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 (2)} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 - (3 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.9

Multipliez $- \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.9.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.10

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.10.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{9 (2)} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - \sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - (3 \sqrt{2}) - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 6.1.13

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 6.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 6.1.13.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 6.1.13.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 6.1.13.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}{- 3}$

Étape 6.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 6.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {\sqrt{6}}^{2}}{- 3}$

Étape 6.1.14

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 6.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Étape 6.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Étape 6.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 6.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 6.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6^{1}}{- 3}$

Étape 6.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 6}{- 3}$

Étape 6.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 6.3

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{9 - 6 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $9 - 6 \sqrt{2}$ et $- 3$ .

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Étape 7.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (3) - 6 \sqrt{2}}{- 3}$

Étape 7.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (3) + 3 (- 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3) + 3 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{3 (3 - 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (3 - 2 \sqrt{2})$

Étape 8

Réécrivez $- 1 \cdot (3 - 2 \sqrt{2})$ comme $- (3 - 2 \sqrt{2})$ .

$- (3 - 2 \sqrt{2})$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 10

Multipliez.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 - (- 2 \sqrt{2})$

Étape 10.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 + 2 \sqrt{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 3 + 2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$- 0.17157287 \dots$