Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{x + 1}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 3}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 3}$ comme ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 3)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 3 = {(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$ .

$2 x + 3 = (1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{x + 1}) (1 + \sqrt{x + 1})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 3 = 1 (1 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (1 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 3 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (1 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 3 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x + 3 = 1 + 1 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{x + 1}$ par $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x + 1}$ par $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$2 x + 3 = 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + x + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 3 = 2 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{x + 1}$ et $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 3 = 2 + 2 \sqrt{x + 1} + x$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 + 2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3$ .

$2 + 2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{x + 1}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 3 - 2$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - 2 - x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 3 - 2$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 1$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x + 4 = {(x + 1)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 x + 4 = (x + 1) (x + 1)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 4$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 4$

Étape 7.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$