Algèbre Exemples

$\sqrt{n + 5} - \sqrt{n - 10} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{n - 10}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{n + 5} = 1 + \sqrt{n - 10}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{n + 5}}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n + 5}$ comme ${(n + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(n + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(n + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(n + 5)}^{1} = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$n + 5 = {(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{n - 10})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ .

$n + 5 = (1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{n - 10}) (1 + \sqrt{n - 10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$n + 5 = 1 (1 + \sqrt{n - 10}) + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} (1 + \sqrt{n - 10})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n + 5 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$n + 5 = 1 + 1 \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{n - 10}$ par $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \cdot 1 + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{n - 10}$ par $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{n - 10} \sqrt{n - 10}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{n - 10}$ à la puissance $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} \sqrt{n - 10}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{n - 10}$ à la puissance $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1} {\sqrt{n - 10}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {\sqrt{n - 10}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{n - 10}}^{2}$ comme $n - 10$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n - 10}$ comme ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + {(n - 10)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$n + 5 = 1 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n - 10$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $10$ de $1$ .

$n + 5 = - 9 + \sqrt{n - 10} + \sqrt{n - 10} + n$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{n - 10}$ et $\sqrt{n - 10}$ .

$n + 5 = - 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{n - 10}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$ .

$- 9 + 2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{n - 10}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{n - 10} + n = n + 5 + 9$

Étape 4.2.2

Soustrayez $n$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{n - 10} = n + 5 + 9 - n$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $n + 5 + 9 - n$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $n$ de $n$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 0 + 5 + 9$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 5 + 9$

Étape 4.2.4

Additionnez $5$ et $9$ .

$2 \sqrt{n - 10} = 14$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{n - 10})}^{2} = 14^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n - 10}$ comme ${(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(n - 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 14^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(n - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(n - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 14^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(n - 10)}^{1} = 14^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (n - 10) = 14^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 n + 4 \cdot - 10 = 14^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$4 n - 40 = 14^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$4 n - 40 = 196$

Étape 7

Résolvez $n$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1.1

Ajoutez $40$ aux deux côtés de l’équation.

$4 n = 196 + 40$

Étape 7.1.2

Additionnez $196$ et $40$ .

$4 n = 236$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $4 n = 236$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $4 n = 236$ par $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 n}{4} = \frac{236}{4}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{236}{4}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $236$ par $4$ .

$n = 59$