Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{2} - 1$ comme une équation.

$y = x^{2} - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{2} - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 1 = x$ .

$y^{2} - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = x + 1$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x + 1}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$

$y = - \sqrt{x + 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x^{2} - 1$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 1, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 1}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ se trouve sur la plage de $f (x) = x^{2} - 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ est le domaine de $f (x) = x^{2} - 1$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}, - \sqrt{x + 1}$

Étape 6