Algèbre Exemples

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

Étape 1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

Étape 2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{3} - 1$ .

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

Étape 6

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

Étape 8

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 9.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 9.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 10

Associez les exposants.

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Étape 10.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 10.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 11

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

Étape 13

Factorisez.

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Étape 13.1

Réécrivez $x^{4} + x^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 13.1.1

Réécrivez le point milieu.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

Étape 13.1.2

Réorganisez les termes.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

Étape 13.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

Étape 13.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2} + 1$ et $b = x$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

Étape 13.1.5

Simplifiez

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Étape 13.1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

Étape 13.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Étape 13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Étape 14

Associez les exposants.

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Étape 14.1

Élevez $x^{2} + x + 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Étape 14.2

Élevez $x^{2} + x + 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Étape 14.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Étape 14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$