Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{1}}{3}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{3}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}}{3}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.8

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{3}$

Étape 6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 2}}{3}$

Étape 6.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{4}}{3}$

Étape 6.1.11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2^{2}}}{3}$

Étape 6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2}{3}$

Étape 6.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{3}$

Étape 6.3

Additionnez $\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Forme décimale :

$4.44151844 \dots$