Algèbre Exemples

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 64^{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $64$ à la puissance $4$ .

$x^{3} = 16777216$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $16777216$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 16777216 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $16777216$ comme $256^{3}$ .

$x^{3} - 256^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 256$ .

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Déplacez $256$ à gauche de $x$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Élevez $256$ à la puissance $2$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 256$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 256$ égal à $0$ .

$x - 256 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $256$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 256$

Étape 3.5

Définissez $x^{2} + 256 x + 65536$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} + 256 x + 65536$ égal à $0$ .

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 256$ et $c = 65536$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez $256$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez $262144$ de $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 196608$ comme $- 1 (196608)$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (196608)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7

Réécrivez $196608$ comme $256^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.3.1.7.1

Factorisez $65536$ à partir de $196608$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $65536$ comme $256^{2}$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.9

Déplacez $256$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ vraie.

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$