Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 x + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 2 x + 1$ comme une équation.

$y = - 2 x + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 2 y + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 y + 1 = x$ .

$- 2 y + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 2 y = x - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = x - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 2 x + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = - \frac{- 2 x + 1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{- (- 2 x + 1) + 1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 2 \frac{- x}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = - 1 (- x) - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 1 x - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x - 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + 1$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$