Algèbre Exemples

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5.2

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - (x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x - x - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5.2.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5.2.4

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.5.2.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\frac{- ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2

Factorisez $h$ à partir de $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$