Algèbre Exemples

$\log_{x} (4) = - 2$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (4) = - 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- 2} = 4$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 4$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = 4$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = 4$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = 4 x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = 4 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 4 x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{2} = 1$ .

$4 x^{2} = 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{x} (4) = - 2$ vrai.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.5$