Algèbre Exemples

$\log_{x} (125) = - 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (125) = - 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{3}} = 125$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{3}} = 125$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 125 x^{3}$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $125 x^{3} = 1$ .

$125 x^{3} = 1$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez $125 x^{3}$ comme ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 2.4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 5 x$ et $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3.4

Simplifiez

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Étape 2.4.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Étape 2.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Étape 2.4.5

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.5.1

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Étape 2.4.5.2

Résolvez $5 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 1$

Étape 2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Étape 2.4.6

Définissez $25 x^{2} + 5 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.6.1

Définissez $25 x^{2} + 5 x + 1$ égal à $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Étape 2.4.6.2

Résolvez $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = 5$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Étape 2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Étape 2.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Étape 2.4.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Étape 2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$