Algèbre Exemples

${(2 x - y)}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{2 - k} \cdot {(- y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{2 - 0} \cdot {(- y)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{2 - 1} \cdot {(- y)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{2 - 2} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{2}$ par $1$ .

${(2 x)}^{2} \cdot {(- y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{2} x^{2} \cdot {(- y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} \cdot {(- y)}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$4 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot {(- 1)}^{0} x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{2} y^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} \cdot 1 + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.10

Simplifiez

$4 x^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot {(- y)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.12

Simplifiez

$4 x^{2} + 4 x \cdot (- y) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} + 4 \cdot - 1 x y + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.15

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + {(2 x)}^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$4 x^{2} - 4 x y + 2^{0} x^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + 1 x^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.18

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + x^{0} \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + 1 \cdot {(- y)}^{2}$

Étape 4.20

Multipliez ${(- y)}^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + {(- y)}^{2}$

Étape 4.21

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$4 x^{2} - 4 x y + {(- 1)}^{2} y^{2}$

Étape 4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 4 x y + 1 y^{2}$

Étape 4.23

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} - 4 x y + y^{2}$