Algèbre Exemples

$\frac{\frac{9 x^{2} - y^{2}}{x y}}{\frac{3}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{9 x^{2} - y^{2}}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - y^{2}}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = y$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{3}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{3}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{y x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{y x} - \frac{y}{x y}}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x y} - \frac{y}{x y}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - y}{x y}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} (1 \frac{x y}{3 x - y})$

Étape 5

Multipliez $\frac{x y}{3 x - y}$ par $1$ .

$\frac{(3 x + y) (3 x - y)}{x y} \cdot \frac{x y}{3 x - y}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3 x - y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3 x - y$ à partir de $(3 x + y) (3 x - y)$ .

$\frac{(3 x - y) (3 x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{3 x - y}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - y) (3 x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{3 x - y}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + y}{x y} (x y)$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x + y}{x y} (x y)$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$3 x + y$