Algèbre Exemples

${(\frac{2}{5})}^{x} = (\frac{125}{8})$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{2}{5})}^{x}) = \ln (\frac{125}{8})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{2}{5})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{125}{8})$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{2}{5})$ comme $\ln (2) - \ln (5)$ .

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{125}{8})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{125}{8})$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{125}{8})$ par $\ln (\frac{2}{5})$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (\frac{2}{5}) = \ln (\frac{125}{8})$ par $\ln (\frac{2}{5})$ .

$\frac{x \ln (\frac{2}{5})}{\ln (\frac{2}{5})} = \frac{\ln (\frac{125}{8})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{2}{5})$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{2}{5})}{\ln (\frac{2}{5})} = \frac{\ln (\frac{125}{8})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{125}{8})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (\frac{125}{8})}{\ln (\frac{2}{5})}$

Forme décimale :

$x = - 3$