Algèbre Exemples

${(x - y)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(- y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(- y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(- y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(- y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(- y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{4}$ par $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(- y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{4} \cdot ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.8

Simplifiez

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot (- y) + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + 4 \cdot - 1 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 \cdot 1 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.15

Simplifiez

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot x \cdot {(- y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x \cdot ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.17

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.18

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 \cdot - 1 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(x)}^{0} \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 \cdot {(- y)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez ${(- y)}^{4}$ par $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(- y)}^{4}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + {(- 1)}^{4} y^{4}$

Étape 4.24

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + 1 y^{4}$

Étape 4.25

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + y^{4}$