Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} = 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} - 3 = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{2 x + 5}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $\sqrt{x - 2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 5} - 3 = \sqrt{x - 2}$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x - 2} + 3$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 5}$ comme ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 5 = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ comme $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ .

$2 x + 5 = (\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} (\sqrt{x - 2} + 3) + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$ .

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Étape 4.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 5 = {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x + 5 = x - 2 + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \cdot \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 9$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 4.3.1.3.3

Additionnez $3 \sqrt{x - 2}$ et $3 \sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 6 \sqrt{x - 2}$

Étape 5

Résolvez $6 \sqrt{x - 2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$ .

$x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $6 \sqrt{x - 2}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x - 7$

Étape 5.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x + 5 - 7$

Étape 5.2.4

Soustrayez $7$ de $5$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x - 2$

Étape 6

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(6 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(x - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

$36 (x - 2) = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 x + 36 \cdot - 2 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $36$ par $- 2$ .

$36 x - 72 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$36 x - 72 = (x - 2) (x - 2)$

Étape 7.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 72 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 7.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 7.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 7.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 7.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 7.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 = 36 x - 72$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $36 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 - 36 x = - 72$

Étape 8.2.2

Soustrayez $36 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 40 x + 4 = - 72$

Étape 8.3

Ajoutez $72$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 40 x + 4 + 72 = 0$

Étape 8.4

Additionnez $4$ et $72$ .

$x^{2} - 40 x + 76 = 0$

Étape 8.5

Factorisez $x^{2} - 40 x + 76$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $76$ et dont la somme est $- 40$ .

$- 38, - 2$

Étape 8.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 38) (x - 2) = 0$

Étape 8.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 38 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 8.7

Définissez $x - 38$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.7.1

Définissez $x - 38$ égal à $0$ .

$x - 38 = 0$

Étape 8.7.2

Ajoutez $38$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 38$

Étape 8.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 8.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 38) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 38, 2$