Algèbre Exemples

$\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 12) (x - 12)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(x + 12) (x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x (x - 12) + 12 (x - 12)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 (x - 12)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 12 + 12 x + 12 \cdot - 12$ .

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Étape 1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 12$ et $12 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 12) = 2$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $- 12 x$ et $12 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 12 \cdot - 12) = 2$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 12 \cdot - 12) = 2$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 12 \cdot - 12) = 2$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $12$ par $- 12$ .

$\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (x^{2} - 144) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 144$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 144 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 144 = 5^{2}$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 144 = 25$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $144$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25 + 144$

Étape 3.3.2

Additionnez $25$ et $144$ .

$x^{2} = 169$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{169}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{169}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{13^{2}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 13$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 13$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 13$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 13, - 13$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x + 12) + \log_{5} (x - 12) = 2$ vrai.

$x = 13$