Algèbre Exemples

$e^{x} + e^{- x} = 8$

Étape 1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 8$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 8$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 8$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 8$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 8$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 8 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 1 = 8 u$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $8 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 8 u = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.3

Soustrayez $4$ de $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{15}$

Étape 4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 4 + \sqrt{15}, 4 - \sqrt{15}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $4 + \sqrt{15}$ dans $u = e^{x}$ .

$4 + \sqrt{15} = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $4 + \sqrt{15} = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 4 + \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 + \sqrt{15}$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 + \sqrt{15})$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (4 + \sqrt{15})$

Étape 7

Remplacez $u$ par $4 - \sqrt{15}$ dans $u = e^{x}$ .

$4 - \sqrt{15} = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $4 - \sqrt{15} = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 4 - \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 - \sqrt{15}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Étape 8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Étape 8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 - \sqrt{15})$

Étape 8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (4 - \sqrt{15})$

Étape 9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Forme décimale :

$x = 2.06343706 \dots, - 2.06343706 \dots$