Algèbre Exemples

$x = 2 \sqrt{x - 1}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 \sqrt{x - 1} = x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = x^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 1)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 1) = x^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 1 = x^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 4 = x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 4 - x^{2} = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x - 4 - x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $- 4$ .

$4 x - x^{2} - 4 = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x - 4 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x - 4 = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 4 = 0$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Étape 4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ .

$- (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 4.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 4.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$- {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- {(x - 2)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 2)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 2)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$