Algèbre Exemples

${(x + 4)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(4)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(4)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(4)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(4)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(4)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(4)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(4)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{4}$ par $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(4)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(4)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(4)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(4)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot 4 + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 16 + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $16$ par $6$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(4)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1

Déplacez ${(4)}^{3}$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + {(4)}^{3} \cdot 4 \cdot {(x)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.8.2

Multipliez ${(4)}^{3}$ par $4$ .

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Étape 4.8.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + {(4)}^{3} \cdot 4^{1} \cdot {(x)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{3 + 1} \cdot {(x)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.8.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{4} \cdot {(x)}^{1} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.9

Simplifiez $4^{4} \cdot {(x)}^{1}$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4^{4} \cdot x + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.10

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 \cdot x + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.11

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + {(x)}^{0} \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.12

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 1 \cdot {(4)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez ${(4)}^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + {(4)}^{4}$

Étape 4.14

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x + 256$