Algèbre Exemples

${(3 x + y)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{4 - k} \cdot {(y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{4 - 0} \cdot {(y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{4 - 1} \cdot {(y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3 x)}^{4 - 2} \cdot {(y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3 x)}^{4 - 3} \cdot {(y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3 x)}^{4 - 4} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3 x)}^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3 x)}^{4}$ par $1$ .

${(3 x)}^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{4} x^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 x^{4} \cdot {(y)}^{0} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 x^{4} + 4 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} + 4 \cdot (3^{3} x^{3}) \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 x^{4} + 4 \cdot (27 x^{3}) \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $27$ par $4$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot {(y)}^{1} + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.9

Simplifiez

$81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot y + 6 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 \cdot (9 x^{2}) \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $9$ par $6$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} \cdot {(y)}^{2} + 4 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.13

Simplifiez

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (3 x) \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez $3$ par $4$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x \cdot {(y)}^{3} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez ${(3 x)}^{0}$ par $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + {(3 x)}^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 3^{0} x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + x^{0} \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 \cdot {(y)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(y)}^{4}$ par $1$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$