Algèbre Exemples

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 10

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 10.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 10.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 10.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 10.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 10.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 10.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 10.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 10.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 10.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, 2 i, - 2 i$