Algèbre Exemples

$\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x y$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$ par $\frac{x y}{x y}$ .

$\frac{x y}{x y} \cdot \frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x y (\frac{y}{x} - \frac{x}{y})}{x y (\frac{1}{y} - \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (y) \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{y}{x} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{1} y + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{1} y^{1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{1 + 1} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2} + x y (- \frac{x}{y})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} + x y \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.6.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + y x \frac{- x}{y}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x (- x)}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x)}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2} - (x^{1} x^{1})}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2} - x^{1 + 1}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x y \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{y x \frac{1}{y} + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.12.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x (y) \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.12.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + x y \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.12.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + y \cdot - 1}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x + y \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x - 1 \cdot y}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x - y}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $y - x$ et $x - y$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - x)}{x - y}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y) - (x))}{x - y}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{(y + x) (- 1 (- y + x))}{x - y}$

Étape 6.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{x - y}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + x) (- 1 (x - y))}{x - y}$

Étape 6.1.6

Divisez $(y + x) \cdot (- 1)$ par $1$ .

$(y + x) \cdot (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot - 1 + x \cdot - 1$

Étape 6.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$- 1 \cdot y + x \cdot - 1$

Étape 6.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 \cdot y - 1 \cdot x$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$- y - 1 \cdot x$

Étape 6.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- y - x$