Algèbre Exemples

$\log_{x} (1000) = 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (1000) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 1000$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1000$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 1000 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1000$ comme $10^{3}$ .

$x^{3} - 10^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$(x - 10) (x^{2} + x \cdot 10 + 10^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 10^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 10 x + 100$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 10 x + 100$ égal à $0$ .

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 10 x + 100 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = 100$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $400$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 300$ comme $- 1 (300)$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (300)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $300$ comme $10^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.7.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$ vraie.

$x = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$