Algèbre Exemples

$125 x^{3} - 27 = 0$

Étape 1

Réécrivez $125 x^{3}$ comme ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 27 = 0$

Étape 2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 5 x$ et $b = 3$ .

$(5 x - 3) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$(5 x - 3) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 3^{2}) = 0$

Étape 4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Étape 6

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $5 x - 3$ égal à $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $5 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 3$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 3$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Étape 7

Définissez $25 x^{2} + 15 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $25 x^{2} + 15 x + 9$ égal à $0$ .

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = 15$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 9)}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 675$ comme $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (675)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $675$ comme $15^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $225$ à partir de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $15$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 675$ comme $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (675)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $675$ comme $15^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $225$ à partir de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.1.9

Déplacez $15$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.4.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{10}$

Étape 7.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{10}$

Étape 7.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $9$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.3

Soustrayez $900$ de $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $- 675$ comme $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (675)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.7

Réécrivez $675$ comme $15^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.5.1.7.1

Factorisez $225$ à partir de $675$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.7.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.1.9

Déplacez $15$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

Étape 7.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{10}$

Étape 7.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{10}$

Étape 7.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{5}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$