Algèbre Exemples

$y = {(x + 3)}^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Étape 1.2

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Étape 1.4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.5

Déterminez le foyer.

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Étape 1.5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, \frac{5}{4})$

Étape 1.6

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 1.7

Déterminez la directrice.

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Étape 1.7.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{3}{4}$

Étape 1.8

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, 1)$

Foyer : $(- 3, \frac{5}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, 1)$

Foyer : $(- 3, \frac{5}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 6 (- 4) + 10$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = 16 + 6 (- 4) + 10$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 24 + 10$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $24$ de $16$ .

$f (- 4) = - 8 + 10$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $10$ .

$f (- 4) = 2$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 4$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) + 10$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = 25 + 6 (- 5) + 10$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$f (- 5) = 25 - 30 + 10$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $30$ de $25$ .

$f (- 5) = - 5 + 10$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f (- 5) = 5$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 5$ est $5$ .

$y = 5$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) + 10$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 + 6 (- 2) + 10$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 12 + 10$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $12$ de $4$ .

$f (- 2) = - 8 + 10$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $- 8$ et $10$ .

$f (- 2) = 2$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 10$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 + 6 (- 1) + 10$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 6 + 10$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (- 1) = - 5 + 10$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f (- 1) = 5$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $5$ .

$y = 5$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 5 \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, 1)$

Foyer : $(- 3, \frac{5}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 5 \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array}$

Étape 4