Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{{\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{1}$

Étape 2.4

Divisez $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ par $1$ .

$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 3

Développez $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.6

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 4.1.7

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 4.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Étape 4.1.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Étape 4.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 4.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 4.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{1}$

Étape 4.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2$

Étape 4.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$5 - \sqrt{6} - \sqrt{6}$

Étape 4.3

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $- \sqrt{6}$ .

$5 - 2 \sqrt{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$5 - 2 \sqrt{6}$

Forme décimale :

$0.10102051 \dots$