Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} - 4 x - 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ comme une équation.

$y = x^{2} - 4 x - 5$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x - 5$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = - 5$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 2.1.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = - 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 2.1.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 5 - \frac{4}{1}$

Étape 2.1.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = - 5 - 1 \cdot 4$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - 5 - 4$

Étape 2.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $- 5$ .

$e = - 9$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 9$ .

${(x - 2)}^{2} - 9$

Étape 2.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - 2)}^{2} - 9$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 9$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 9)$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - \frac{35}{4})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{37}{4}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 9)$

Foyer : $(2, - \frac{35}{4})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{37}{4}$

Étape 11