Algèbre Exemples

$\sqrt{x + 7} + 5 = x$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x + 7} = x - 5$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 7}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 7)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$x + 7 = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$x + 7 = (x - 5) (x - 5)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 7 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 7 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 7 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$x + 7 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x + 7 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$x + 7 = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 10 x + 25 = x + 7$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 10 x + 25 - x = 7$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $- 10 x$ .

$x^{2} - 11 x + 25 = 7$

Étape 4.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 11 x + 25 - 7 = 0$

Étape 4.4

Soustrayez $7$ de $25$ .

$x^{2} - 11 x + 18 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} - 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 9, - 2$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 9) (x - 2) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 4.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 9) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 9, 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x + 7} + 5 = x$ vrai.

$x = 9$