Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{33} + \sqrt{33} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1}}{8}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{8}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{2}}{8}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.2

Multipliez $11$ par $11$ .

$\frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{11} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{11 - \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{11}$ .

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Étape 6.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.1.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.1.7.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{8}$

Étape 6.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

Étape 6.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Étape 6.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Étape 6.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Étape 6.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 6.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 6.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{1}}{8}$

Étape 6.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3}{8}$

Étape 6.2

Additionnez $11$ et $3$ .

$\frac{14 - \sqrt{33} - \sqrt{33}}{8}$

Étape 6.3

Soustrayez $\sqrt{33}$ de $- \sqrt{33}$ .

$\frac{14 - 2 \sqrt{33}}{8}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $14 - 2 \sqrt{33}$ et $8$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 (7) - 2 \sqrt{33}}{8}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{33}$ .

$\frac{2 (7) + 2 (- \sqrt{33})}{8}$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (7) + 2 (- \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{8}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{2 \cdot 4}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{2 \cdot 4}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 - \sqrt{33}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 - \sqrt{33}}{4}$

Forme décimale :

$0.31385933 \dots$