Algèbre Exemples

${(2 x - 3 y)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{4 - k} \cdot {(- 3 y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{4 - 0} \cdot {(- 3 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{4 - 1} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{4 - 2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{4 - 3} \cdot {(- 3 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x)}^{4 - 4} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{4}$ par $1$ .

${(2 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{4} x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$16 x^{4} \cdot ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 \cdot {(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (2^{3} x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (8 x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $8$ par $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.13

Simplifiez

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot (- 3 y) + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x^{4} + 32 \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $32$ par $- 3$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 6 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.18

Multipliez $4$ par $6$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 x^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 x^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.21

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 24 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez $24$ par $9$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.23

Simplifiez

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (2 x) \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.24

Multipliez $2$ par $4$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 x \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.25

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 x \cdot ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.26

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.27

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 8 \cdot - 27 x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.28

Multipliez $8$ par $- 27$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.29

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(2 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.30

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 2^{0} x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.31

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.32

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.33

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 1 \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.34

Multipliez ${(- 3 y)}^{4}$ par $1$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $- 3 y$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

Étape 4.36

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$16 x^{4} - 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} - 216 x y^{3} + 81 y^{4}$