Algèbre Exemples

$\sqrt{4 y + 29} - \sqrt{y - 4} = 6$

Étape 1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 29} - \sqrt{y - 4} - 6 = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{4 y + 29}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $\sqrt{y - 4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 29} - 6 = \sqrt{y - 4}$

Étape 2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 29} = \sqrt{y - 4} + 6$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y + 29}}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y + 29}$ comme ${(4 y + 29)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(4 y + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y + 29)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y + 29)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y + 29)}^{1} = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$4 y + 29 = {(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{y - 4} + 6)}^{2}$ comme $(\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$ .

$4 y + 29 = (\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(\sqrt{y - 4} + 6) (\sqrt{y - 4} + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 29 = \sqrt{y - 4} (\sqrt{y - 4} + 6) + 6 (\sqrt{y - 4} + 6)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 29 = \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 4} + 6)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 29 = \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$ .

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Étape 4.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{y - 4}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 29 = {\sqrt{y - 4}}^{1} \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{y - 4}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 29 = {\sqrt{y - 4}}^{1} {\sqrt{y - 4}}^{1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y + 29 = {\sqrt{y - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 y + 29 = {\sqrt{y - 4}}^{2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{y - 4}}^{2}$ comme $y - 4$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 4}$ comme ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 29 = {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 29 = {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 y + 29 = {(y - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 y + 29 = {(y - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 y + 29 = {(y - 4)}^{1} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$4 y + 29 = y - 4 + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 29 = y - 4 + 6 \cdot \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot 6$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$4 y + 29 = y - 4 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + 36$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $- 4$ et $36$ .

$4 y + 29 = y + 32 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4}$

Étape 4.3.1.3.3

Additionnez $6 \sqrt{y - 4}$ et $6 \sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 29 = y + 32 + 12 \sqrt{y - 4}$

Étape 5

Résolvez $12 \sqrt{y - 4}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $y + 32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 29$ .

$y + 32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 29$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $12 \sqrt{y - 4}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$32 + 12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 29 - y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 29 - y - 32$

Étape 5.2.3

Soustrayez $y$ de $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y + 29 - 32$

Étape 5.2.4

Soustrayez $32$ de $29$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y - 3$

Étape 6

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(12 \sqrt{y - 4})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 4}$ comme ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$144 {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$144 {(y - 4)}^{1} = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

$144 (y - 4) = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$144 y + 144 \cdot - 4 = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $144$ par $- 4$ .

$144 y - 576 = {(3 y - 3)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez ${(3 y - 3)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez ${(3 y - 3)}^{2}$ comme $(3 y - 3) (3 y - 3)$ .

$144 y - 576 = (3 y - 3) (3 y - 3)$

Étape 7.3.1.2

Développez $(3 y - 3) (3 y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y - 3) - 3 (3 y - 3)$

Étape 7.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y - 3)$

Étape 7.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 9 y - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 9 y - 9 y - 3 \cdot - 3$

Étape 7.3.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 9 y - 9 y + 9$

Étape 7.3.1.3.2

Soustrayez $9 y$ de $- 9 y$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 18 y + 9$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 y^{2} - 18 y + 9 = 144 y - 576$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $144 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 18 y + 9 - 144 y = - 576$

Étape 8.2.2

Soustrayez $144 y$ de $- 18 y$ .

$9 y^{2} - 162 y + 9 = - 576$

Étape 8.3

Ajoutez $576$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 162 y + 9 + 576 = 0$

Étape 8.4

Additionnez $9$ et $576$ .

$9 y^{2} - 162 y + 585 = 0$

Étape 8.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.5.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} - 162 y + 585$ .

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Étape 8.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 162 y + 585 = 0$

Étape 8.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 162 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 18 y) + 585 = 0$

Étape 8.5.1.3

Factorisez $9$ à partir de $585$ .

$9 y^{2} + 9 (- 18 y) + 9 \cdot 65 = 0$

Étape 8.5.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} + 9 (- 18 y)$ .

$9 (y^{2} - 18 y) + 9 \cdot 65 = 0$

Étape 8.5.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (y^{2} - 18 y) + 9 \cdot 65$ .

$9 (y^{2} - 18 y + 65) = 0$

Étape 8.5.2

Factorisez.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $y^{2} - 18 y + 65$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $65$ et dont la somme est $- 18$ .

$- 13, - 5$

Étape 8.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$9 ((y - 13) (y - 5)) = 0$

Étape 8.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$9 (y - 13) (y - 5) = 0$

Étape 8.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 13 = 0$

$y - 5 = 0$

Étape 8.7

Définissez $y - 13$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.7.1

Définissez $y - 13$ égal à $0$ .

$y - 13 = 0$

Étape 8.7.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 13$

Étape 8.8

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.8.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 8.8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 8.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 (y - 13) (y - 5) = 0$ vraie.

$y = 13, 5$