Algèbre Exemples

$\frac{8}{5 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{8}{5 + 1 i}$ par le conjugué de $5 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{8}{5 + 1 i} \cdot \frac{5 - i}{5 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{8 (5 - i)}{(5 + 1 i) (5 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 5 + 8 (- i)}{(5 + 1 i) (5 - i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{40 + 8 (- i)}{(5 + 1 i) (5 - i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{40 - 8 i}{(5 + 1 i) (5 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(5 + 1 i) (5 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{40 - 8 i}{5 (5 - i) + 1 i (5 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{40 - 8 i}{5 \cdot 5 + 5 (- i) + 1 i (5 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{40 - 8 i}{5 \cdot 5 + 5 (- i) + 1 i \cdot 5 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 + 5 (- i) + 1 i \cdot 5 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 1 i \cdot 5 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - 5 i + 5 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 5 i$ et $5 i$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{40 - 8 i}{25 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $25$ et $1$ .

$\frac{40 - 8 i}{26}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $40 - 8 i$ et $26$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$\frac{2 (20) - 8 i}{26}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 i$ .

$\frac{2 (20) + 2 (- 4 i)}{26}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (20) + 2 (- 4 i)$ .

$\frac{2 (20 - 4 i)}{26}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (20 - 4 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (20 - 4 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 - 4 i}{13}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{20 - 4 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{20}{13} + \frac{- 4 i}{13}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{20}{13} - \frac{4 i}{13}$