Algèbre Exemples

${(a - b)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a)}^{3 - k} \cdot {(- b)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(a)}^{3 - 0} \cdot {(- b)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(a)}^{3 - 1} \cdot {(- b)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(a)}^{3 - 2} \cdot {(- b)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(a)}^{3 - 3} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{3}$ par $1$ .

${(a)}^{3} \cdot {(- b)}^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} b^{0} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} + 3 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- b)}^{1} + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.8

Simplifiez

$a^{3} + 3 a^{2} \cdot (- b) + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.11

Simplifiez

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot a \cdot {(- b)}^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a \cdot ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $3$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.16

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(a)}^{0} \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 \cdot {(- b)}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(- b)}^{3}$ par $1$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

Étape 4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$