Algèbre Exemples

$x^{4} - 12 x^{2} + 27 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 27 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} - 12 u + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 9, - 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 8

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 9

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 10

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 10.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 10.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3, 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = - 3, 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$