Algèbre Exemples

$x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4 x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} - 4 u - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 5$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 5$

Étape 6.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 5^{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 5^{3}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 5^{3}$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x = 125$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{3}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 1) = 0$ vraie.

$x = 125, - 1$