Algèbre Exemples

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$

Étape 1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Étape 1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Étape 1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Étape 1.3.5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Étape 1.3.6

Soustrayez $1$ de $- 5$ .

$- 6 + 6$

Étape 1.3.7

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ par $x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x + 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 5 x + 6$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) ((x - 3) (x - 2))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 3) (x - 2)$