Algèbre Exemples

$x^{\frac{3}{2}} = 125$

Étape 1

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{3}{2}} - 125 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{\frac{3}{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 125 = 0$

Étape 3

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 5^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{\frac{1}{2}}$ et $b = 5$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 5.2

Simplifiez

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 5.3

Déplacez $5$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5^{2}) = 0$

Étape 5.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 5$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 5^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 5^{2}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = 25$

Étape 8

Définissez $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ égal à $0$ .

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$

Étape 8.2.2

Remplacez $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 5 (u) + 25 = 0$

Étape 8.2.3

Résolvez $u$ .

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $5$ par $u$ .

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

Étape 8.2.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4

Simplifiez

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Étape 8.2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 8.2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.4.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 8.2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.5.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.5.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $5 i \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.3.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$u = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.3.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 8.2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.6.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.6.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 i \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$u = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.3.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.5

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

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Étape 8.2.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.5.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.2.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.5.2.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.5.2.2.1.2.2

Multipliez $\frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.5.2.2.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.2.4

Réécrivez ${(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3

Développez $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 (5 - 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.2.5.2.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$x = \frac{25 - 25 (i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.3

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4

Multipliez $- 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.1.8

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.2

Soustrayez $75$ de $25$ .

$x = \frac{- 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.4.3

Soustrayez $25 i \sqrt{3}$ de $- 25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.5

Remettez dans l’ordre $- 50 i \sqrt{3}$ et $- 50$ .

$x = \frac{- 50 - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $- 50 - 50 i \sqrt{3}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$x = \frac{2 (- 25) - 50 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 50 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.2.1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.7

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$x = \frac{- 1 (25) - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (25 + 25 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

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Étape 8.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.6.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.2.6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.6.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.6.2.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = 1 \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.6.2.2.1.2.2

Multipliez $\frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.2.6.2.2.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.2.4

Réécrivez ${(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3

Développez $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 (5 + 5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.2.6.2.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$x = \frac{25 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$x = \frac{25 + 25 (i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4

Multipliez $5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.1.8

Multipliez $- 25$ par $3$ .

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.2

Soustrayez $75$ de $25$ .

$x = \frac{25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.4.3

Additionnez $25 i \sqrt{3}$ et $25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.5

Remettez dans l’ordre $50 i \sqrt{3}$ et $- 50$ .

$x = \frac{- 50 + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $- 50 + 50 i \sqrt{3}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 50 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $50 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.7

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$x = \frac{- 1 (25) + 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $25 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (25 - 25 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$ vraie.

$x = 25, - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$