Algèbre Exemples

$\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{8 e^{2} x^{5}}{(x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2}})$ comme $\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$ .

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) \sqrt[3]{x + 2})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (8 e^{2} x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (8 e^{2} x^{5})$ comme $\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5})$ .

$\ln (8 e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (8 e^{2})$ comme $\ln (8) + \ln (e^{2})$ .

$\ln (8) + \ln (e^{2}) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5

Développez $\ln (e^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (8) + 2 \ln (e) + \ln (x^{5}) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 6

Développez $\ln (x^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\ln (8) + 2 \ln (e) + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (8) + 2 \cdot 1 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - \ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 9

Réécrivez $\ln ((x^{2} + 1) {(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ comme $\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}))$

Étape 10

Développez $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$\ln (8) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$\ln (2^{3}) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Étape 11.2

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{3} \ln (x + 2))$

Étape 11.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (x + 2)$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Étape 11.4

Pour écrire $\ln (x^{2} + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\ln (x^{2} + 1) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Étape 11.5

Associez $\ln (x^{2} + 1)$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - (\frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x + 2)}{3})$

Étape 11.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{\ln (x^{2} + 1) \cdot 3 + \ln (x + 2)}{3}$

Étape 11.7

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (x^{2} + 1)$ .

$3 \ln (2) + 2 + 5 \ln (x) - \frac{3 \ln (x^{2} + 1) + \ln (x + 2)}{3}$