Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3}$

Étape 1.1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{3}$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

Étape 1.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 \cdot 3$

Étape 1.1.2.3.2.3

Multipliez $0$ par $3$ .

$d = 0$

Étape 1.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{3}}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (0 (\frac{3}{4}))$

Étape 1.1.2.4.2.1.4

Multipliez $0$ par $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - 0$

Étape 1.1.2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 0 + 0$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$e = 0$

Étape 1.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2}$

Étape 1.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 1.5.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{4})$

Étape 1.5.3.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, \frac{3}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 0$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{3}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(0, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{3}{4}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(0, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{3}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3}$

Étape 2.5.2

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun à ${(3)}^{2}$ et $3$ .

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Étape 2.8.1.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Étape 2.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = \frac{3}{1}$

Étape 2.8.1.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$f (3) = 3$

Étape 2.8.2

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{3}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{3}$

Étape 2.11.2

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(0, 0)$

Foyer : $(0, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

Étape 4