Algèbre Exemples

${(2 x + 3)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{3 - k} \cdot {(3)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{3 - 0} \cdot {(3)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{3 - 1} \cdot {(3)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{3 - 2} \cdot {(3)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{3 - 3} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(3)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{3}$ par $1$ .

${(2 x)}^{3} \cdot {(3)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{3} x^{3} \cdot {(3)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} \cdot {(3)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot {(3)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.9

Évaluez l’exposant.

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $3$ par $12$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.11

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.1

Déplacez ${(3)}^{2}$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + {(3)}^{2} \cdot 3 \cdot {(2 x)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.11.2

Multipliez ${(3)}^{2}$ par $3$ .

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Étape 4.11.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + {(3)}^{2} \cdot 3^{1} \cdot {(2 x)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{2 + 1} \cdot {(2 x)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{3} \cdot {(2 x)}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.12

Simplifiez $3^{3} \cdot {(2 x)}^{1}$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{3} \cdot (2 x) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.13

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 27 \cdot (2 x) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez $2$ par $27$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + {(2 x)}^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 2^{0} x^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 1 x^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + x^{0} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 1 \cdot {(3)}^{3}$

Étape 4.20

Multipliez ${(3)}^{3}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + {(3)}^{3}$

Étape 4.21

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$